서론
변압기(Transformer)는 전력 시스템의 근간으로, 교류 전압을 변환해 장거리 송전과 가전제품 사용을 가능하게 합니다. MATLAB Simulink는 이러한 변압기를 정밀하게 시뮬레이션할 수 있는 도구를 제공하며, 특히 "Nonlinear Transformer" 블록은 비선형 자기 특성과 철심 포화 현상을 반영해 실제 동작을 세밀히 모델링합니다. 이 글에서는 변압기의 이론적 모델링 원리부터 시작해, MATLAB Simulink에서의 설정 방법과 실무 적용까지 상세히 다룹니다. 전기 엔지니어링, 전력 시스템 분석, SIMULINK 튜토리얼에 관심 있는 분들에게 유용한 가이드가 될 것입니다.
키워드(Keywords):MATLAB Simulink, Nonlinear Transformer, 변압기 모델링, 전자기 유도, 패러데이 법칙, 누설 인덕턴스, 자화 인덕턴스, 철손, 전력 시스템 시뮬레이션, SIMULINK 튜토리얼
1. 변압기 모델링의 기본 원리
1.1 전자기 유도와 이상적인 변압기
변압기는 전자기 유도(electromagnetic induction)를 기반으로 작동합니다. 1차 코일에 교류 전류가 흐르면 자기 자속(\( \Phi \))이 생성되고, 이는 2차 코일에 전압을 유도합니다. 이는 패러데이 법칙(Faraday's Law)에 의해 설명됩니다:
여기서 \( V_p \)와 \( V_s \)는 각각 1차 및 2차 전압, \( N_p \)와 \( N_s \)는 권선 수입니다. 이상적인 변압기에서는 자속 손실이 없으므로, 전압 비율은 권선 수 비율에 비례합니다:
또한, 전력 보존의 원칙에 따라 전류는 반비례합니다:
이상적인 모델은 저항, 누설 자속, 철손이 없다고 가정하며, 100% 효율성을 전제로 합니다.
1.2 변압기의 실제 동작과 한계
실제 변압기는 이상적인 모델에서 벗어나 여러 비선형성과 손실을 포함합니다:
- 누설 자속(Leakage Flux): 1차 및 2차 코일 사이에 완전히 연결되지 않는 자속.
- 저항 손실: 코일의 저항(\( R_p, R_s \))으로 인한 \( I^2R \) 손실.
- 철손(Iron Loss): 히스테리시스(hysteresis)와 맴돌이 전류(eddy current)로 발생.
- 포화(Saturation): 자기장의 증가에 따라 철심의 투자율(\( \mu \))이 감소하는 현상.
이러한 요소를 반영하려면 등가 회로(equivalent circuit)가 필요하며, 자화 인덕턴스(\( L_m \))와 누설 인덕턴스(\( L_l \))를 추가로 모델링합니다.
2. 실제 변압기 모델링
2.1 자기 회로와 자화 전류
자기 회로의 릴럭턴스(\( R_m \))는 철심의 자기 저항을 나타내며, \( R_m = \frac{l}{\mu A} \) (식 5)로 계산됩니다. 여기서 \( l \)은 철심 길이, \( A \)는 단면적, \( \mu \)는 투자율입니다. 1차 코일의 기자력(\( N_p i_p \))과 2차 코일의 기자력(\( N_s i_s \)) 차이는 자속과 릴럭턴스의 곱으로 표현됩니다:
이상적인 철심(\( \mu \to \infty \))에서는 \( R_m \approx 0 \)이므로 \( N_p i_p \approx N_s i_s \)가 성립합니다. 그러나 실제 투자율은 유한하므로, 자화 전류(magnetizing current, \( i_m \))가 필요합니다:
2.2 자화 인덕턴스
자화 전류는 자화 인덕턴스(\( L_m \))로 모델링되며, 이는 철심의 자기 특성을 반영합니다:
포화 시 \( \mu \)가 감소하면 \( L_m \)도 감소하며, 이는 비선형성을 초래합니다. 이 인덕턴스는 등가 회로에서 1차 코일과 병렬로 연결됩니다.
2.3 누설 자속과 인덕턴스
누설 자속(\( \Phi_{leakage} \))은 코일을 완전히 통과하지 않는 자속으로, 총 자속은 다음과 같이 표현됩니다:
누설 자속은 누설 인덕턴스(\( L_l \))로 모델링되며, 전압 강하는 \( V_{leakage} = L_l \cdot \frac{di}{dt} \) (식 10)로 계산됩니다. 1차 및 2차 코일에 각각 \( L_{lp} \)와 \( L_{ls} \)가 추가됩니다.
2.4 철손과 저항
철손은 히스테리시스 손실(\( P_h \propto f B^n \))과 맴돌이 전류 손실(\( P_e \propto f^2 B^2 t^2 \))로 구성되며, 등가 회로에서 저항 \( R_c \)로 모델링됩니다. 코일 저항(\( R_p, R_s \))은 오옴의 법칙에 따라:
2.5 등가 회로
완전한 등가 회로는 다음과 같은 요소를 포함합니다:
- \( R_p, R_s \): 코일 저항
- \( L_{lp}, L_{ls} \): 누설 인덕턴스
- \( L_m \): 자화 인덕턴스
- \( R_c \): 철손 저항
3. Nonlinear Transformer 블록 개요
MATLAB Simulink의 "Nonlinear Transformer" 블록은 위의 원리를 기반으로 비선형성을 반영합니다. 아래는 매개변수 설정 가이드입니다.
3.1 메인(Main) 탭
- Primary number of turns (1차 권선 수): 100
- \( V_p = -100 \frac{d\Phi}{dt} \)에 영향. 변압비 \( \frac{100}{200} = 0.5 \).
- 설계 목표에 따라 조정.
- Secondary number of turns (2차 권선 수): 200
- 변압비 결정. 실무에서는 사양서 확인.
- 권선 불일치로 손실 발생 가능성 고려.
- Winding parameterized by: "Separate primary and secondary values"
- 세밀한 조정 가능.
- 비선형 특성 반영 시 유리.
3.2 누설(Leakage) 파라미터
- Primary leakage resistance (1차 누설 저항): 0.01 Ω
- \( V_{leakage} = I_p \cdot 0.01 \).
- 실제 저항값으로 보정.
- Primary leakage inductance (1차 누설 인덕턴스): 0.001 H
- \( V_{leakage} = 0.001 \cdot \frac{di_p}{dt} \).
- 철심 설계에 따라 조정.
- Secondary leakage resistance (2차 누설 저항): 0.01 Ω
- \( V_{leakage} = I_s \cdot 0.01 \).
- 부하 조건에 따라 다를 수 있음.
- Secondary leakage inductance (2차 누설 인덕턴스): 0.001 H
- \( V_{leakage} = 0.001 \cdot \frac{di_s}{dt} \).
- 설계 차이 반영.
3.3 초기 조건(Initial Conditions)
초기 전류는 \( \Phi_{init} = L \cdot I_{init} \)로 설정.
"Start simulation from steady state" 시 무시. 불안정 시 조정.
3.4 자기화(Magnetization)
포화점 예: \( I_{sat} = 10 \, A \), \( \Phi_{sat} = 0.02 \, Wb \).
\( B = \mu H \)로 비선형성 모델링.
BH 곡선 데이터(예: 실리콘 강판) 사용.
3.5 기생 효과(Parasitics)
기생 용량 및 도전성 추가 가능.
고주파 응용 시 중요.
4.시뮬레이션 절차
- 블록을 전원(AC Source)과 부하(Resistor)에 연결.
- "Run"으로 실행, 스코프에 결과 표시.
- 솔버: "ode23t" 또는 "ode15s" 추천.
5. 추가 팁
- 데이터 보정: 실제 변압기 사양서(저항, 인덕턴스) 사용.
- 디버깅: 결과 이상 시 누설 인덕턴스나 초기 조건 확인.
- 업데이트: MATLAB 2024a 이상 버전 권장.