LLC 및 CLLC 공진 컨버터의 FHA 기반 전달함수 분석

이 문서는 LLC 및 CLLC 공진 컨버터의 전달함수를 First Harmonic Approximation (FHA) 기법으로 유도하고, MATLAB을 사용해 주파수 응답(Bode plot)을 시각화합니다. FHA는 공진 탱크의 전류와 전압을 기본파(스위칭 주파수의 사인파 성분)로 근사화하여 비선형 동역학을 선형화합니다. 제어-출력 전달함수 \( G_{vf}(s) = \frac{\hat{v}_o}{\hat{f}_s} \)와 라인-출력 전달함수 \( G_{vg}(s) = \frac{\hat{v}_o}{\hat{v}_g} \)를 유도하며, Extended Describing Function (EDF) 분석은 정밀 분석을 위해 간단히 언급됩니다. 기생 성분(ESR 등)은 무시되었으며, Continuous Conduction Mode (CCM)를 가정했습니다. 

keywords: LLC Resonant Converter, CLLC Converter, FHA, EDF, Transfer Function, Bode Plot, MATLAB Simulation, Voltage Gain, Power Electronics

공통 파라미터 

• 입력 전압: \( V_g = 400 \, \text{V} \) (고전압 배터리)
• 출력 전압: \( V_o = 48 \, \text{V} \) (저전압 보조 배터리)
• 공진 인덕터: \( L_r = 20 \, \mu\text{H} \)
• 공진 커패시터: \( C_r = 0.127 \, \mu\text{F} \)
• 마그네타이징 인덕터: \( L_m = 100 \, \mu\text{H} \)
• 부하 저항: \( R = 2.3 \, \Omega \) (1kW 출력 기준)
• 트랜스포머 턴 비율: \( n = 0.12 \)
• CLLC의 2차 공진 커패시터: \( C_r' = 0.127 \, \mu\text{F} \)
• 스위칭 주파수: \( f_s \approx 100 \, \text{kHz} \)
• 공진 주파수: \( f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_r C_r}} \approx 100 \, \text{kHz} \)

1. FHA 개요

FHA는 공진 컨버터의 비선형 동역학을 기본파 성분으로 근사화하여 분석하는 기법입니다. 공진 탱크의 전류와 전압을 다음과 같이 모델링합니다:

\[ i_{Lr}(t) \approx I_{Lr,1} \sin(2\pi f_s t + \phi_{Lr}), \quad v_{Cr}(t) \approx V_{Cr,1} \sin(2\pi f_s t + \phi_{Cr}) \]

고차 고조파는 무시되며, 이는 분석을 단순화하지만 고주파 영역의 정확도를 제한합니다. EDF는 DC 성분과 고차 고조파를 포함하여 더 정밀한 분석을 제공합니다.

FHA의 주요 절차

1. 입력 전압 모델링: 스위칭 주파수 \( f_s \)에 따른 구형파 입력 전압을 기본파로 근사화.\[ v_{in}(t) \approx \frac{4 V_g}{\pi} \sin(2\pi f_s t) \]
2. 공진 탱크 분석: 공진 주파수 \( f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_r C_r}} \)를 기준으로 공진 탱크의 임피던스를 계산.
3. 부하 모델링: 출력 부하를 등가 저항 \( R_{eq} = \frac{8 n^2 R}{\pi^2} \)로 변환.
4. DC 이득 유도: 공진 탱크의 전압 이득을 계산.
5. Small-signal 분석: 주파수 변조 \( f_s \to f_s + \hat{f}_s \) 또는 입력 전압 변동 \( V_g \to V_g + \hat{v}_g \)를 적용해 전달함수 유도.

2. LLC 공진 컨버터

2.1. FHA 기반 DC 이득 유도

LLC 컨버터의 공진 탱크는 \( L_r \), \( C_r \), \( L_m \)으로 구성됩니다. FHA를 사용해 공진 탱크의 등가 회로를 분석하면, DC 이득 \( M = \frac{V_o}{V_g} \)는 다음과 같습니다:

\[ M = \frac{2 n f_n}{1 + \lambda \left(1 - \frac{1}{f_n^2}\right)}, \quad f_n = \frac{f_s}{f_r}, \quad f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_r C_r}}, \quad \lambda = \frac{L_r}{L_m} \]

여기서 \( f_n \)은 정규화된 스위칭 주파수, \( \lambda \)는 인덕터 비율입니다.

유도 과정

1. 입력 전압: 구형파 입력 전압의 기본파 성분:\[ v_{in}(t) = \frac{4 V_g}{\pi} \sin(2\pi f_s t) \]
2. 공진 탱크 임피던스: 공진 탱크는 \( L_r \), \( C_r \), \( L_m \parallel R_{eq} \)로 구성됩니다. 등가 부하 저항:\[ R_{eq} = \frac{8 n^2 R}{\pi^2} \]
3. 전압 이득: 공진 탱크의 전압 분배를 통해 이득을 계산:\[ Z_{eq}(s) = s L_r + \frac{1}{s C_r} + \frac{s L_m R_{eq}}{s L_m + R_{eq}} \]
4. 주파수 \( \omega_s = 2\pi f_s \)에서 \( M \)을 유도하면 위 식이 도출됩니다.

2.2. 제어-출력 전달함수 \( G_{vf}(s) \)

FHA를 사용해 주파수 변조 \( \hat{f}_s \)에 대한 출력 전압 변동 \( \hat{v}_o \)를 계산합니다. DC 이득 \( M \)을 \( f_s \)에 대해 편미분:

\[ G_{vf}(s=0) = \frac{\partial V_o}{\partial f_s} = V_g \frac{\partial M}{\partial f_s} \]

\[ \frac{\partial M}{\partial f_s} = \frac{2 n / f_r}{\left(1 + \lambda \left(1 - \frac{1}{f_n^2}\right)\right)^2} \cdot \frac{2 \lambda}{f_n^3 f_r} \]

동적 특성은 공진 탱크의 2차 시스템으로 근사화:

\[ G_{vf}(s) \approx \frac{\partial M}{\partial f_s} V_g \frac{1}{1 + \frac{s}{Q \omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_r C_r}}, \quad Q = \frac{\sqrt{L_r / C_r}}{R_{eq}} \]

2.3. 라인-출력 전달함수 \( G_{vg}(s) \)

입력 전압 변동 \( \hat{v}_g \)에 대한 출력 전압 변동 \( \hat{v}_o \)는 다음과 같이 유도됩니다:

\[ G_{vg}(s=0) = \frac{\partial V_o}{\partial V_g} = M \]

동적 특성은 \( G_{vf}(s) \)와 유사한 2차 시스템으로 근사화:

\[ G_{vg}(s) \approx M \frac{1}{1 + \frac{s}{Q \omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}} \]

2.4. EDF와의 비교

FHA는 기본파만 고려하므로 고주파 동역학의 정확도가 낮습니다. EDF는 공진 전류 \( i_{Lr} \), 공진 커패시터 전압 \( v_{Cr} \), 마그네타이징 전류 \( i_{Lm} \)의 DC 성분과 기본파를 포함해 더 정밀한 전달함수를 제공합니다:

\[ G_{vf}(s) \approx \frac{k V_g}{s^2 + \frac{\omega_r}{Q} s + \omega_r^2}, \quad k \text{는 EDF 계산으로 결정} \]

정밀 분석은 EDF 기반 수치적 계산(예: MATLAB symbolic toolbox)을 권장합니다.

2.5. MATLAB 코드

FHA 기반 LLC 전달함수를 시뮬레이션합니다. EDF 구현은 복잡하므로 근사화된 모델을 사용합니다.

% LLC 공진 컨버터 FHA 기반 전달함수 분석
clear all; close all;

% 파라미터 설정
Vin = 400;       % 입력 전압
Vout = 48;       % 출력 전압 
n = 0.12;        % 트랜스포머 턴 비율
Lr = 20e-6;      % 공진 인덕터 (H)
Cr = 0.127e-6;   % 공진 커패시터 (F)
Lm = 100e-6;     % 마그네타이징 인덕터 (H)
R = 2.3;         % 부하 저항 (Ohm, 1kW 기준)
fr = 1 / (2 * pi * sqrt(Lr * Cr)); % 공진 주파수 (~100 kHz)
fs = fr;         % 스위칭 주파수 (공진 주파수와 동일)
R_eq = 8 * n^2 * R / pi^2;         % 등가 저항
Q = sqrt(Lr / Cr) / R_eq;          % 품질 인자
lambda = Lr / Lm;                  % 인덕터 비율
fn = fs / fr;                      % 정규화 주파수

% DC 이득 (FHA)
M = (2 * n * fn) / (1 + lambda * (1 - 1/fn^2));

% 제어-출력 전달함수 파라미터
omega_0 = 2 * pi * fr;
G_f0 = (Vout / fr) * (2 * lambda / (fn^3 * fr)) / (1 + lambda * (1 - 1/fn^2))^2;
Q = 0.5; % 예시 Q 값 (근사화)

% 제어-출력 전달함수 G_vf(s)
s = tf('s');
G_vf = G_f0 * Vin / (1 + s/(Q*omega_0) + s^2/(omega_0^2));

% 라인-출력 전달함수 G_vg(s)
G_vg = M / (1 + s/(Q*omega_0) + s^2/(omega_0^2));

% Bode 플롯
figure;
subplot(2,1,1);
bode(G_vf, {1e3, 1e7});
title('LLC 컨버터 제어-출력 전달함수');
grid on;

subplot(2,1,2);
bode(G_vg, {1e3, 1e7});
title('LLC 컨버터 라인-출력 전달함수');
grid on;

3. CLLC 공진 컨버터

3.1. FHA 기반 DC 이득 유도

CLLC 컨버터는 LLC에 2차 측 공진 커패시터 \( C_r' \)를 추가하여 양방향 공진을 지원합니다. FHA를 사용한 DC 이득은 LLC와 유사합니다:

\[ M = \frac{2 n f_n}{1 + \lambda \left(1 - \frac{1}{f_n^2}\right)}, \quad f_n = \frac{f_s}{f_r}, \quad f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_r C_r}}, \quad \lambda = \frac{L_r}{L_m} \]

단, 2차 측 공진 탱크(\( L_m, C_r' \))로 인해 동적 특성이 더 복잡합니다.

유도 과정

1. 입력 및 출력 전압: 입력 전압은 LLC와 동일하게 기본파로 근사화.\[ v_{in}(t) = \frac{4 V_g}{\pi} \sin(2\pi f_s t) \]
2. 공진 탱크 임피던스: 1차 공진 탱크(\( L_r, C_r \))와 2차 공진 탱크(\( L_m, C_r' \))를 고려.\[ Z_{eq}(s) = s L_r + \frac{1}{s C_r} + \frac{s L_m \parallel \frac{1}{s C_r'}}{n^2} \]
3. 전압 이득: FHA를 통해 이득을 계산하며, LLC와 유사한 형태를 가짐.

3.2. 제어-출력 전달함수 \( G_{vf}(s) \)

2차 공진 커패시터로 인해 3차 시스템으로 근사화됩니다:

\[ G_{vf}(s) \approx \frac{\partial M}{\partial f_s} V_g \frac{1}{1 + \frac{s}{Q \omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2} + \frac{s^3}{\omega_1^3}}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_r C_r}}, \quad \omega_1 \approx 1.5 \omega_0 \]

\[ \frac{\partial M}{\partial f_s} = \frac{2 n / f_r}{\left(1 + \lambda \left(1 - \frac{1}{f_n^2}\right)\right)^2} \cdot \frac{2 \lambda}{f_n^3 f_r} \]

3.3. 라인-출력 전달함수 \( G_{vg}(s) \)

입력 전압 변동에 대한 전달함수는 다음과 같습니다:

\[ G_{vg}(s) \approx M \frac{1}{1 + \frac{s}{Q \omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2} + \frac{s^3}{\omega_1^3}} \]

3.4. EDF와의 비교

CLLC는 2차 공진 탱크로 인해 더 복잡한 동역학을 가지며, FHA는 저주파 영역에서만 유효합니다. EDF는 1차 및 2차 공진 탱크의 기본파와 DC 성분을 포함하여 다음과 같은 전달함수를 제공합니다:

\[ G_{vf}(s) \approx \frac{k V_g}{s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0}, \quad a_0, a_1, a_2 \text{는 EDF 계산으로 결정} \]

정밀 분석은 EDF 기반 수치적 계산 권장.

3.5. MATLAB 코드

FHA 기반 CLLC 전달함수를 시뮬레이션합니다.

% CLLC 공진 컨버터 FHA 기반 전달함수 분석
clear all; close all;

% 파라미터 설정
Vin = 400;       % 입력 전압 
Vout = 48;       % 출력 전압 
n = 0.12;        % 트랜스포머 턴 비율
Lr = 20e-6;      % 공진 인덕터 (H)
Cr = 0.127e-6;   % 공진 커패시터 (F)
Lm = 100e-6;     % 마그네타이징 인덕터 (H)
Cr_prime = 0.127e-6; % 2차 공진 커패시터 (F)
R = 2.3;         % 부하 저항 (Ohm, 1kW 기준)
fr = 1 / (2 * pi * sqrt(Lr * Cr)); % 공진 주파수 (~100 kHz)
fs = fr;         % 스위칭 주파수 (공진 주파수와 동일)
R_eq = 8 * n^2 * R / pi^2;         % 등가 저항
Q = sqrt(Lr / Cr) / R_eq;          % 품질 인자
lambda = Lr / Lm;                  % 인덕터 비율
fn = fs / fr;                      % 정규화 주파수

% DC 이득 (FHA)
M = (2 * n * fn) / (1 + lambda * (1 - 1/fn^2));

% 제어-출력 전달함수 파라미터
omega_0 = 2 * pi * fr;
omega_1 = 1.5 * omega_0; % 3차 폴 근사
G_f0 = (Vout / fr) * (2 * lambda / (fn^3 * fr)) / (1 + lambda * (1 - 1/fn^2))^2;
Q = 0.5; % 예시 Q 값 (근사화)

% 제어-출력 전달함수 G_vf(s)
s = tf('s');
G_vf = G_f0 * Vin / (1 + s/(Q*omega_0) + s^2/(omega_0^2) + s^3/(omega_1^3));

% 라인-출력 전달함수 G_vg(s)
G_vg = M / (1 + s/(Q*omega_0) + s^2/(omega_0^2) + s^3/(omega_1^3));

% Bode 플롯
figure;
subplot(2,1,1);
bode(G_vf, {1e3, 1e7});
title('CLLC 컨버터 제어-출력 전달함수');
grid on;

subplot(2,1,2);
bode(G_vg, {1e3, 1e7});
title('CLLC 컨버터 라인-출력 전달함수');
grid on;

4. FHA의 한계 및 EDF 권장

• FHA 한계: 고차 고조파를 무시하여 고주파 동역학의 정확도가 낮음. 스위칭 주파수 \( f_s \)가 공진 주파수 \( f_r \)와 크게 다를 경우 부정확.
• EDF: DC 성분과 고차 고조파를 포함하여 정밀 분석 가능. 복잡한 수치적 계산(예: MATLAB symbolic toolbox) 필요.
• 권장사항: 초기 설계는 FHA로 간단히 수행하고, 정밀 분석은 EDF 기반 수치적 계산으로 보완.

5. 주의사항

• 파라미터: 실제 설계에 맞게 조정 필요.
• 시뮬레이션: 기생 성분(ESR 등) 미포함, SPICE로 보완 권장.
• EDF 구현: 복잡하므로 추가 요청 시 별도 제공 가능.
• Bode 플롯: 주파수 범위는 \( 10^3 \) ~ \( 10^7 \, \text{rad/s} \)로 설정, 필요 시 조정.

keywords: LLC Resonant Converter, CLLC Converter, FHA, EDF, Transfer Function, Bode Plot, MATLAB Simulation, Voltage Gain, Power Electronics