본 문서는 다양한 전기 모터(DC 모터, AC 모터(유도·동기), BLDC 모터)의 전달함수(Transfer Function)를 체계적으로 정리한 자료입니다. 전달함수는 모터 입력(전압·전류)과 출력(속도·위치) 사이의 동적 관계를 라플라스 영역에서 표현하는 수학적 도구로, 제어기 설계와 성능 분석의 핵심 역할을 합니다.
본문에서는 각 모터의 전기적·기계적 동역학을 설명하고, 전달함수의 도출 과정을 단계별로 전개하였으며, 수치 예시와 MATLAB 시뮬레이션 코드를 포함하여 실제 응용 가능성을 보여줍니다. 또한 모터 유형별 특성, 장단점, 제어 응용 사례를 비교하여 제어 시스템 설계 시 고려할 수 있는 기준을 제공합니다.
Keywords: DC 모터 전달함수, AC 유도 모터, 동기 모터 PMSM, BLDC 모터, 모터 동역학, 라플라스 변환, 속도 제어, 위치 제어, 벡터 제어 FOC, PID 제어기, MATLAB 시뮬레이션, 제어 시스템 설계
1. DC 모터의 전달함수
1.1. 동역학
DC 모터는 전기자 회로와 회전자의 기계적 운동을 결합하여 모델링됩니다. 전기적 시스템은 전압, 전류, 역기전력을 포함하며, 기계적 시스템은 토크와 회전 속도를 다룹니다.
전기적 방정식:
- \(V(t)\): 입력 전압 (V) - 모터에 인가되는 전원 전압.
- \(L_a\): 전기자 인덕턴스 (H) - 코일의 자기 유도 효과.
- \(R_a\): 전기자 저항 (Ω) - 전기자 회로의 저항.
- \(i_a(t)\): 전기자 전류 (A) - 모터를 통해 흐르는 전류.
- \(K_e\): 역기전력 상수 (V·s/rad) - 회전 속도에 비례하여 발생하는 역기전력.
- \(\omega(t)\): 회전 속도 (rad/s) - 회전자의 각속도.
기계적 방정식:
- \(J\): 회전 관성 모멘트 (kg·m²) - 회전자의 질량 관성.
- \(b\): 점성 마찰 계수 (N·m·s/rad) - 회전에 저항하는 마찰력.
- \(K_t\): 토크 상수 (N·m/A) - 전류에 비례하여 생성되는 토크.
- \(T_L(t)\): 외부 부하 토크 (N·m) - 외부 부하로 인한 저항 토크 (여기서는 0으로 가정).
참고: \(K_e\)와 \(K_t\)는 SI 단위에서 동일한 값을 가질 수 있으나, 모터 설계에 따라 다를 수 있습니다. 역기전력은 모터의 피드백 메커니즘을 형성하여 안정성을 높입니다.
1.2. 전달함수 도출 (속도 제어)
외부 부하 토크 \(T_L(t) = 0\)로 가정하고, 라플라스 변환을 적용하여 시간 영역 방정식을 주파수 영역으로 변환합니다. 초기 조건은 0으로 가정합니다.
단계 1: 전기적 방정식 변환
시간 영역의 전기적 방정식에 라플라스 변환을 적용:
이를 \(I_a(s)\)에 대해 정리:
이 식은 전기자 전류가 입력 전압과 역기전력(회전 속도에 비례)에 의존함을 나타냅니다. \(L_a s + R_a\)는 전기자 회로의 임피던스를 나타냅니다.
단계 2: 기계적 방정식 변환
기계적 방정식에 라플라스 변환을 적용 (\(T_L(s) = 0\)):
이 식은 회전 속도가 전기자 전류에 의해 생성된 토크에 비례하며, \(J s + b\)는 기계적 시스템의 임피던스(관성과 마찰)를 나타냅니다.
단계 3: 전기적 및 기계적 방정식 결합
전기적 방정식에서 구한 \(I_a(s)\)를 기계적 방정식에 대입:
양변에 \((J s + b)(L_a s + R_a)\)를 곱하여 \(\Omega(s)\)를 분리:
\(\Omega(s)\) 항을 한쪽으로 모음:
전달함수를 구함:
여기서 \(K_e K_t\)는 역기전력 피드백 항으로, 시스템의 안정성에 기여합니다.
단계 4: 분모 전개
분모 \((J s + b)(L_a s + R_a)\)를 전개:
최종 전달함수:
이 전달함수는 2차 시스템으로, 전기적 시간 상수 \(\tau_e = L_a / R_a\)와 기계적 시간 상수 \(\tau_m = J / b\)에 의해 동작이 결정됩니다.
참고: \(L_a\)가 작을 경우(전기적 시간 상수가 무시 가능), 전달함수는 1차 시스템으로 근사화 가능:
이는 전기적 응답이 기계적 응답에 비해 매우 빠를 때 유효합니다.
수치 예시:
- \(K_t = 0.05 \, \text{N·m/A}\), \(K_e = 0.05 \, \text{V·s/rad}\)
- \(R_a = 1 \, \Omega\), \(L_a = 0.01 \, \text{H}\)
- \(J = 0.01 \, \text{kg·m²}\), \(b = 0.1 \, \text{N·m·s/rad}\)
계수 계산:
- \(L_a J = 0.01 \cdot 0.01 = 0.0001\)
- \(L_a b + R_a J = 0.01 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.01 = 0.001 + 0.01 = 0.011\)
- \(R_a b + K_e K_t = 1 \cdot 0.1 + 0.05 \cdot 0.05 = 0.1 + 0.0025 = 0.1025\)
1.3. 전달함수 (위치 제어)
출력을 각도 \(\theta(t)\)로 설정하면, \(\Omega(s) = s \Theta(s)\):
속도 전달함수 \(G(s)\)에 적분기 \(1/s\)를 곱함:
이 전달함수는 3차 시스템으로, 위치 제어 시 적분 동작으로 인해 추가 극점이 발생하여 응답이 더 복잡해집니다.
1.4. 응용 사례
DC 모터는 간단한 제어 구조로 인해 로봇 팔, 컨베이어 벨트, 전동 공구, 소형 펌프 등에 사용됩니다. 전달함수는 PID 제어기 설계의 기초로 활용되며, 속도 및 위치 제어에서 안정성과 빠른 응답성을 보장합니다. 예를 들어, 로봇 팔의 관절 제어에서 DC 모터는 정밀한 위치 제어를 제공합니다.
참고: 실제 시스템에서는 브러시 마모, 열 효과, 비선형 마찰이 전달함수에 영향을 미칠 수 있습니다. 이러한 요인은 제어기 설계 시 보상되어야 합니다.
1.5. MATLAB 시뮬레이션 코드
아래 코드는 단위 계단 입력에 대한 속도 응답을 시뮬레이션합니다.
% DC Motor Transfer Function Simulation
Kt = 0.05; Ke = 0.05;
Ra = 1; La = 0.01;
J = 0.01; b = 0.1;
num = Kt;
den = [La*J, La*b + Ra*J, Ra*b + Ke*Kt];
G = tf(num, den);
% Step Response
figure;
step(G);
title('DC Motor Speed Response');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Speed (rad/s)');
grid on;
2. AC 모터의 전달함수
2.1. 유도 모터
유도 모터는 비선형 동역학을 가지며, 벡터 제어(Field-Oriented Control, FOC)를 통해 선형화하여 전달함수를 도출합니다. 벡터 제어는 d-q 축 변환을 사용하여 토크와 자속을 독립적으로 제어합니다.
동역학:
전기적 모델 (d-q 축):
- \(V_{qs}\), \(V_{ds}\): q축 및 d축 전압 (V)
- \(I_{qs}\), \(I_{ds}\): q축 및 d축 고정자 전류 (A)
- \(I_{qr}\), \(I_{dr}\): q축 및 d축 회전자 전류 (A)
- \(L_s\): 고정자 인덕턴스 (H), \(L_m\): 상호 인덕턴스 (H), \(L_r\): 회전자 인덕턴스 (H)
- \(\omega_e\): 전기적 주파수 (rad/s)
기계적 모델:
- \(P\): 극 수, \(\omega_r\): 회전자 속도 (rad/s)
전달함수 도출:
단계 1: 벡터 제어 가정
벡터 제어에서는 회전자 자속을 d축에 정렬하여 \(\lambda_{qr} = 0\), \(\lambda_{dr} = \text{const}\)로 설정:
토크는 \(I_{qs}\)에 선형적으로 비례하며, \(K_t\)는 모터의 전자기적 특성에 따라 결정됩니다.
단계 2: 기계적 전달함수
기계적 방정식에 라플라스 변환 적용 (\(T_L(s) = 0\)):
이 식은 토크 입력에 대한 속도 응답을 나타내며, 1차 시스템으로 간단히 표현됩니다.
단계 3: 전기적 모델 단순화
q축 전압 방정식을 단순화하여 전류와 전압의 관계를 구함 (결합 항 \(\omega_e \lambda_{ds}\) 무시):
이는 고정자 회로의 1차 근사로, 실제로는 전류 제어 루프가 추가로 포함될 수 있습니다.
단계 4: 전체 전달함수
\(I_{qs}(s)\)를 기계적 전달함수에 대입:
전달함수:
분모 전개:
이 전달함수는 2차 시스템으로, 전기적 및 기계적 시간 상수에 의해 특성이 결정됩니다.
수치 예시:
- \(P = 4\), \(L_m / L_r = 0.9\), \(\lambda_{dr} = 0.1 \, \text{Wb}\)
- \(R_s = 0.5 \, \Omega\), \(L_s = 0.005 \, \text{H}\)
- \(J = 0.01 \, \text{kg·m²}\), \(b = 0.02 \, \text{N·m·s/rad}\)
- \(K_t = \frac{3 \cdot 4}{4} \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.27\)
계수 계산:
- \(L_s J = 0.005 \cdot 0.01 = 0.00005\)
- \(L_s b + R_s J = 0.005 \cdot 0.02 + 0.5 \cdot 0.01 = 0.0001 + 0.005 = 0.0051\)
- \(R_s b = 0.5 \cdot 0.02 = 0.01\)
2.2. 응용 사례
유도 모터는 산업용 펌프, 팬, 압축기, HVAC 시스템에 적합합니다. 벡터 제어와 가변 주파수 드라이브(VFD)를 통해 DC 모터 수준의 정밀 제어가 가능하며, 높은 토크와 내구성이 강점입니다.
참고: 실제 시스템에서는 자속 추정 오류, 슬립 주파수 변화, 열 효과 등이 전달함수에 영향을 미칠 수 있습니다.
2.3. MATLAB 시뮬레이션 코드 (유도 모터)
% Induction Motor Transfer Function Simulation
P = 4; Lm_Lr = 0.9; lambda_dr = 0.1;
Rs = 0.5; Ls = 0.005;
J = 0.01; b = 0.02;
Kt = (3*P/4) * Lm_Lr * lambda_dr;
num = Kt / Rs;
den = [Ls*J, Ls*b + Rs*J, Rs*b];
G = tf(num, den);
% Step Response
figure;
step(G);
title('Induction Motor Speed Response');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Speed (rad/s)');
grid on;
2.4. 동기 모터 (PMSM)
영구자석 동기 모터(PMSM)는 회전자 자속이 영구자석에 의해 고정되어 자속 제어가 단순화됩니다.
동역학:
- \(\lambda_m\): 영구자석 자속 (Wb)
- \(L_q\), \(L_d\): q축 및 d축 인덕턴스 (H)
전달함수 도출:
단계 1: 토크 식
토크는 \(I_{qs}\)에 선형적으로 비례:
\(K_t\)는 영구자석 자속과 극 수에 의해 결정됩니다.
단계 2: 기계적 전달함수
기계적 방정식에 라플라스 변환:
단계 3: 전기적 모델 단순화
q축 전압 방정식을 단순화 (\(\omega_e (L_d I_{ds} + \lambda_m)\) 무시):
이는 전류 제어 루프가 빠르게 동작한다고 가정한 근사입니다.
단계 4: 전체 전달함수
\(I_{qs}(s)\)를 대입:
피드백 항 (\(K_t \lambda_m\)) 포함:
분모 전개:
수치 예시:
- \(P = 4\), \(\lambda_m = 0.1 \, \text{Wb}\)
- \(R_s = 0.5 \, \Omega\), \(L_q = 0.005 \, \text{H}\)
- \(J = 0.01 \, \text{kg·m²}\), \(b = 0.02 \, \text{N·m·s/rad}\)
- \(K_t = \frac{3 \cdot 4}{4} \cdot 0.1 = 0.3\)
계수 계산:
- \(L_q J = 0.005 \cdot 0.01 = 0.00005\)
- \(L_q b + R_s J = 0.005 \cdot 0.02 + 0.5 \cdot 0.01 = 0.0001 + 0.005 = 0.0051\)
- \(R_s b + K_t \lambda_m = 0.5 \cdot 0.02 + 0.3 \cdot 0.1 = 0.01 + 0.03 = 0.04\)
2.5. 응용 사례
PMSM은 전기차, 드론, CNC 기계, 로봇 공학에서 사용됩니다. 영구자석으로 인한 높은 효율성과 정밀 제어로 고성능 응용에 적합합니다. 예를 들어, 전기차의 구동 모터로 사용되어 빠른 가속과 효율적인 에너지 사용을 제공합니다.
참고: PMSM은 \(L_d \neq L_q\)인 경우 비선형성을 가지므로, 고급 제어 기법(예: 최대 토크/암페어 제어)이 필요할 수 있습니다.
2.6. MATLAB 시뮬레이션 코드 (PMSM)
% PMSM Transfer Function Simulation
P = 4; lambda_m = 0.1;
Rs = 0.5; Lq = 0.005;
J = 0.01; b = 0.02;
Kt = (3*P/4) * lambda_m;
num = Kt / Rs;
den = [Lq*J, Lq*b + Rs*J, Rs*b + Kt*lambda_m];
G = tf(num, den);
% Step Response
figure;
step(G);
title('PMSM Speed Response');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Speed (rad/s)');
grid on;
3. BLDC 모터의 전달함수
BLDC 모터는 PMSM의 일종으로, 전자적 정류를 사용하여 DC 모터와 유사한 동작을 합니다. 전자적 정류는 홀 센서 또는 백-EMF를 통해 구현됩니다.
동역학:
- \(L_s\): 고정자 인덕턴스 (H)
- \(R_s\): 고정자 저항 (Ω)
전달함수 도출:
단계 1: 전기적 방정식 변환
전기적 방정식에 라플라스 변환 적용:
이 식은 DC 모터와 유사하며, 고정자 전류가 전압과 역기전력에 의존함을 보여줍니다.
단계 2: 기계적 방정식 변환
기계적 방정식에 라플라스 변환:
단계 3: 결합
\(I_s(s)\)를 대입:
단계 4: 분모 전개
분모 전개:
이 전달함수는 DC 모터와 동일한 형태로, 2차 시스템입니다.
수치 예시:
- \(K_t = 0.1 \, \text{N·m/A}\), \(K_e = 0.1 \, \text{V·s/rad}\)
- \(R_s = 0.2 \, \Omega\), \(L_s = 0.002 \, \text{H}\)
- \(J = 0.005 \, \text{kg·m²}\), \(b = 0.01 \, \text{N·m·s/rad}\)
계수 계산:
- \(L_s J = 0.002 \cdot 0.005 = 0.00001\)
- \(L_s b + R_s J = 0.002 \cdot 0.01 + 0.2 \cdot 0.005 = 0.00002 + 0.001 = 0.00102\)
- \(R_s b + K_e K_t = 0.2 \cdot 0.01 + 0.1 \cdot 0.1 = 0.002 + 0.01 = 0.012\)
3.1. 응용 사례
BLDC 모터는 컴퓨터 팬, 전동 공구, 전기차 구동 시스템, 드론에 사용됩니다. 전자적 정류로 브러시 마모가 없어 수명이 길고, PWM 제어를 통해 효율적인 속도 제어가 가능합니다.
참고: BLDC 모터는 홀 센서 또는 센서리스 제어(백-EMF 기반)를 사용하며, PWM 스위칭 지연이 전달함수에 영향을 줄 수 있습니다.
3.2. MATLAB 시뮬레이션 코드
% BLDC Motor Transfer Function Simulation
Kt = 0.1; Ke = 0.1;
Rs = 0.2; Ls = 0.002;
J = 0.005; b = 0.01;
num = Kt;
den = [Ls*J, Ls*b + Rs*J, Rs*b + Ke*Kt];
G = tf(num, den);
% Step Response
figure;
step(G);
title('BLDC Motor Speed Response');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Speed (rad/s)');
grid on;
결론
DC 모터, AC 모터, BLDC 모터는 구조와 특성에서 차이가 있지만, 모두 전달함수 모델을 통해 주파수 영역에서 정량적 분석과 제어 설계가 가능합니다.
- DC 모터는 단순한 모델로 제어가 용이하나, 효율과 내구성에서 한계가 있습니다.
- AC 유도 모터는 고출력 산업용 응용에 강점이 있으며, 벡터 제어를 통해 선형 모델 기반 제어가 가능합니다.
- PMSM 및 BLDC 모터는 고효율·고정밀 제어에 적합하여 전기차, 드론 등 첨단 응용에 널리 사용됩니다.
따라서 제어 목적과 응용 환경에 맞는 모터를 선택하고, 전달함수를 기반으로 한 제어기(PID, 상태 피드백, MPC 등)를 설계하는 것이 안정적이고 효율적인 구동 시스템 구축의 핵심입니다.
Keywords: DC 모터 전달함수, AC 유도 모터, 동기 모터 PMSM, BLDC 모터, 모터 동역학, 라플라스 변환, 속도 제어, 위치 제어, 벡터 제어 FOC, PID 제어기, MATLAB 시뮬레이션, 제어 시스템 설계
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