OP-AMP 이완 발진기(Relaxation Oscillator) 회로

본 내용은 OP-AMP 이완 발진기(Relaxation Oscillator) 회로에 대한 이론적 배경, 동작 원리, 그리고 수치적 설계를 상세히 분석합니다. 이 회로는 외부 입력 신호 없이도 스스로 구형파(Square Wave)를 발생시키는 비안정 멀티바이브레이터(Astable Multivibrator)의 일종입니다.

1. 회로 구성 요소 및 파라미터

 

 회로도는 다음과 같은 주요 소자들로 구성되어 있습니다.

• 연산 증폭기 (OP-AMP): 비교기(Comparator) 역할을 수행하며 출력을 $+V_{CC}$ 또는 $-V_{EE}$로 포화시킵니다.
• 귀환 회로 (Feedback Network):
  • 정귀환(Positive Feedback): 저항 $R_1$과 $R_2$로 구성된 전압 분배기가 비반전 단자(+)에 연결되어 임계 전압(Threshold Voltage)을 결정합니다.
  • 부귀환(Negative Feedback): 저항 $R$과 커패시터 $C$로 구성된 RC 시정수 회로가 반전 단자(-)에 연결되어 발진 주기를 결정합니다.

기호	값	설명
$R$	$50\text{ k}\Omega$	커패시터 충/방전 저항
$C$	$0.01\text{ }\mu\text{F}$	에너지 축적 소자
$R_1$	$35\text{ k}\Omega$	정귀환 분배 저항 1
$R_2$	$30\text{ k}\Omega$	정귀환 분배 저항 2
$\beta$	$0.462$	귀환 계수 (Feedback Fraction)

2. 동작 원리 및 이론적 전개

2.1 히스테리시스와 임계 전압

OP-AMP의 비반전 단자(+)에 가해지는 전압 $V_+$는 출력 전압 $V_{OUT}$의 분압에 의해 결정됩니다. 이를 귀환 계수 $\beta$라고 정의합니다.

$$\beta = \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{30\text{ k}\Omega}{35\text{ k}\Omega + 30\text{ k}\Omega} \approx 0.4615 \approx 0.462$$

출력 전압이 $+V_{SAT}$일 때 상한 임계값($V_{UTL}$)과 $-V_{SAT}$일 때 하한 임계값($V_{LTL}$)은 다음과 같습니다.

$$V_{UTL} = +\beta V_{SAT}, \quad V_{LTL} = -\beta V_{SAT}$$

2.2 충방전 과정과 발진 메커니즘

1. 초기 상태: $V_{OUT}$이 $+V_{SAT}$이라고 가정하면, 커패시터 $C$는 저항 $R$을 통해 $+V_{SAT}$ 방향으로 충전됩니다.
2. 전환점 1: 커패시터 전압 $V_C$가 $V_{UTL}$($+\beta V_{SAT}$)에 도달하는 순간, 반전 단자(-) 전압이 비반전 단자(+)보다 높아져 $V_{OUT}$은 순식간에 $-V_{SAT}$으로 반전됩니다.
3. 방전 상태: 이제 커패시터 $C$는 $-V_{SAT}$ 방향으로 방전을 시작합니다.
4. 전환점 2: $V_C$가 $V_{LTL}$($-\beta V_{SAT}$)까지 떨어지면, 다시 $V_{OUT}$은 $+V_{SAT}$으로 복귀하며 이 과정이 반복됩니다.

3. 수식 전개 및 주파수 계산

이완 발진기의 주기 $T$는 커패시터의 과도 응답 방정식을 통해 도출됩니다. 일반적인 RC 회로의 전압 방정식은 다음과 같습니다.

$$v_c(t) = V_{final} + (V_{initial} - V_{final})e^{-\frac{t}{RC}}$$

반주기($T/2$) 동안 전압이 $-\beta V_{SAT}$에서 $+\beta V_{SAT}$으로 변한다고 할 때 (최종 목적지는 $+V_{SAT}$),

$$\beta V_{SAT} = V_{SAT} + (-\beta V_{SAT} - V_{SAT})e^{-\frac{T/2}{RC}}$$

이를 $T$에 대해 정리하면 다음과 같은 일반식을 얻습니다.

$$T = 2RC \ln\left( \frac{1+\beta}{1-\beta} \right)$$

 

회로도에서 제시된 간략화된 공식 $f = \frac{1}{2RC}$은 특정 조건(보통 $\beta \approx 0.462$일 때 $\ln(3) \approx 1.1$이 되므로 완벽히 일치하지는 않으나 근사치로 사용) 하에 유도된 것입니다.

주어진 수치 대입:

• $R = 50 \times 10^3\text{ }\Omega$
• $C = 0.01 \times 10^{-6}\text{ F}$
• $\beta = 0.462$

$$T = 2 \times (50 \times 10^3) \times (0.01 \times 10^{-6}) \times \ln\left( \frac{1+0.462}{1-0.462} \right)$$

$$T = 0.001 \times \ln(2.717) \approx 0.001 \times 0.9997 \approx 1\text{ ms}$$

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.001} = 1\text{ kHz}$$

회로도에 표시된 1kHz 결과값과 계산값이 정확히 일치함을 알 수 있습니다.

4. 결론 및 분석 결과

본 회로는 $R_1$과 $R_2$의 비율을 통해 히스테리시스 폭을 조절하고, $R$과 $C$의 곱(시정수)을 통해 발진 속도를 제어합니다.

• 설계 정밀도: $\beta = 0.462$ 설정은 $\ln(\frac{1+\beta}{1-\beta}) \approx 1$이 되도록 의도된 설계로 보이며, 이 경우 주기는 간단히 $T \approx 2RC$가 됩니다.
• 활용: 저주파 구형파 발생기, 클록 신호원, 또는 LED 깜빡이 회로 등에 널리 사용됩니다.